Produit scalaire dans l'espace

Définition

Soit  \(\overrightarrow{u}\)  et  \(\overrightarrow{v}\)  deux vecteurs dans l'espace.
Soit \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) trois points de l'espace tels que  \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text A\text B}\)  et  \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text A\text C}\) .
Le produit scalaire de  \(\overrightarrow{u}\)  et  \(\overrightarrow{v}\) , noté  \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}\) , est défini comme le produit scalaire  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}\)  dans un plan contenant les trois points   \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) .

Remarques

• Le produit scalaire \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}\) est bien défini car il ne dépend pas des représentants des vecteurs \(\overrightarrow{\text A\text B}\) et \(\overrightarrow{\text A\text C}\) .
  
• Toutes les propriétés du produit scalaire vues dans le plan sont ainsi prolongées à l'espace.
  

Propriété

Soit \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) trois points de l'espace, tels que \(\text B\) et \(\text C\) sont distincts de  \(\text A\) .
Soit \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) des vecteurs de l'espace tels que  \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text A\text B}\)  et  \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\text A\text C}\) .
Alors on a :
\(\boxed{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}||\times ||\overrightarrow{v}||\times \cos(\widehat{\text B\text A\text C})= \text A\text B\times \text A\text C\times \cos(\widehat{\text B\text A\text C})}\)

Soit \(\text H\)  le projeté orthogonal du point \(\text C\) sur la droite \((\text A\text B)\) . 

Remarque 1

Soit \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) trois points alignés de l'espace, alors :

• si  \(\overrightarrow{\text A\text B}\)  et  \(\overrightarrow{\text A\text C}\)  sont de même sens, on a :  \(\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C} = \text A\text B \times \text A\text C\) .
  
• si   \(\overrightarrow{\text A\text B}\)  et  \(\overrightarrow{\text A\text C}\)  sont de sens contraire, on a : \(\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C} = -\text A\text B \times \text A\text C\) .

Remarque 2
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur de l'espace. On a  \(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}^2 = ||\overrightarrow{u}||^2\) . 
\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}\)   est appelé carré scalaire du vecteur \(\overrightarrow{u}\) .